Lezioni di matematica - Università
PER I SEGUENTI CORSI DI LAUREA:
Ingegneria (Prof. Ferrari & Prof.ssa Abenda, Prof. Obrecht, Prof. Ravaglia, Prof. Cupini, Prof.ssa Citti & Prof.ssa Baldi, Prof. Dore)
Economia (Prof. Nicoletti, Prof. Bolondi, Prof. Bernardi, Prof. Plazzi)
Architettura (Prof. Parmeggiani, Prof. Albano, Prof. Fiumana)
Scienze e Tecnologie Informatiche (Prof.ssa Montanari)
Chimica e Tecnologie Farmaceutiche (Prof. Lucarini)
Astronomia (Prof. Venni
Biotecnologie (Prof. Desalvo, Prof. Uguzzoni)
Chimica (Prof.ssa Caliceti e Prof. Graffi)
Chimica Industriale (Prof. Negrini, Prof. Rudiger, Prof. Mulazzani)
Farmacia (Prof. Aliffi)
Informatica & Informatica per il Management (Prof.ssa Sordoni)
Scienze Politiche (Prof.ssa Mulinacci)
Scienze Biologiche (Prof. Contucci e Prof. Degli Esposti)
Scienze e Tecnologie Informatiche (Prof.ssa Montanari)
PROGRAMMI PROPOSTI:
Concetto di numero reale
Calcolo dei radicali: cenno sulle potenze con esponente frazionario
Equazioni di secondo grado e facilmente riducibili al primo grado
Le disequazioni
Disequazioni di primo grado
Disequazioni qualsiasi
La discussione delle equazioni di 2° grado
La trigonometria
Correlazioni fra le funzioni trigonometriche
Rappresentazioni grafiche
Angoli notevoli
Le tavole trigonometriche
Le funzioni somma e differenza di angoli
Formule di duplicazione
Formule di bisezione
Formule parametriche
Formule di Prostaferesi
I teoremi per la risoluzione dei triangoli
Teorema dei seni
Area del triangolo
Teorema di Carnot
Teorema di Neper
Formule di Brigg
Risoluzione di triangoli (tavola)
Funzioni trigonometriche inverse
Topologia della retta
Punti interni, esterni e di frontiera, di accumulazione, isolati; insiemi aperti, chiusi, limitati; la retta ampliata; insiemi compatti (Teoremi di Heine-Borel e Bolzano-Weierstrass)
Funzioni e Limiti
Funzioni limitate
Monotone
Pari
Dispari
I Limiti
Limite (destro, sinistro)
Limite di una funzione monotona
I simboli O e o
Tabella dei limiti notevoli
Paradosso di Achille e la tartaruga
Operazioni di passaggio al limite
Teorema di Weiestrass
Limiti notevoli (trigonometrici)
Limiti notevoli (derivanti da "e")
Ordine degli infiniti e degli infinitesimi
Metodi di calcolo dei limiti
Successioni e serie
Limite di una successione
Teorema dei due carabinieri
Limiti notevoli (incluso numero di Nepero e)
Massimo e minimo limite
Successioni e topologia
Criterio di Cauchy
Serie numeriche
Serie a termini positivi
Criterio del confronto (asintotico)
Criterio del rapporto e della radice
Criterio di Cauchy
Serie armonica generalizzata
Convergenza (assoluta, semplice)
Serie alternate
Criterio di Leibnitz
Calcolo di derivate
Regole di derivazione di funzioni
Derivata logaritmica
Derivata esponenziale
Derivata di funzioni inverse
Calcolo dei massimi e dei minimi di una funzione
Le derivate di ordine "n"
Flessi
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Generalizzazione delle formule di Cauchy e di Lagrange
Teorema di Cauchy
Teoremi di De L'Hospital
Artifizi per poter applicare i teoremi di De L'Hospital
Limiti a destra, limiti a sinistra
Formula di Taylor e applicazioni sviluppi notevoli, significato del resto
Continuità, punti di discontinuità
Funzioni continue su un intervallo
Continuità e compattezza
Continuità uniforme
Funzioni esponenziali
Funzioni logaritmiche
Funzioni circolari e loro inverse
Lo studio delle funzioni
Semplificazioni
Valori assoluti
Campi di esistenza
Operazioni preparatorie all'esposizione dati
Calcolo di altri punti caratteristici
Calcolo di asintoti
Funzioni convesse e concave
Flessi
Il grafico della funzione
Esercizi
Integrali
Integrale di Riemann
Classi di funzioni integrabili
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Teorema della media integrale
Primitive notevoli
Il calcolo integrale
Saper portare sotto il segno di differenziale
Metodi di integrazione
Integrazione per parti
Artifizi di integrazione
Integrazione di funzioni razionali fratte
Se il polinomio al denominatore ha solo radici immaginarie
Integrazione di irrazionali algebrici
Integrali impropri o generalizzati
Formula di Wallis
Equazioni differenziali
Differenziale di applicazioni da R^n in R^m
Conseguenze della differenziabilità
Determinante Jacobiano
Derivate e differenziali di funzioni composte
Esempi: coordinate polari, sferiche, cilindriche
Operatore di Laplace
Derivazioni di campi vettoriali: divergenza, rotore in 2-D e 3-D e rotore e parte antisimmetrica della matrice Jacobiana
Significato fisico e geometrico del rotore
Campi di forze centrali
Coordinate curvilinee ortogonali
Operatori differenziali in coordinate cilindriche, sferiche e polare
Il Teorema di Dini in R^2
Funzioni implicite nel caso generale R^(n+m), R^m (senza dim.)
Tecniche di linearizzazione
Teorema di invertibilita' locale (senza dim.)
Massimi e minimi vincolati
Significato geometrico delle ipotesi
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (dim nel caso 2D)
Misura dei parallelepipedi, insiemi di misura nulla
Misura di Peano-Jordan
Somme integrali, integrabilità secondo Riemann - Integrabilità delle funzioni continue - Integrale doppio e triplo
Formule di riduzione per l'integrale doppio e triplo
Cambiamento di variabili
Calcolo delle aree e dei volumi
Calcolo della massa e dei momenti di inerzia e del baricentro
Curve parametriche regolari in R^n
Curve regolari a tratti
Versori tangenti
Lunghezza di una curva
Parametrizzazioni, orientamento
Ascissa curvilinea
Integrale curvilinei di funzioni scalari
Integrale di linea di un campo vettoriale
Lavoro e circuitazione
Campi conservativi e funzione potenziale
Campi irrotazionali e circuitazione nulla in R^2 e R^3
Domini stellati e semplicemente connessi
Rapporto con le forme differenziali: forme chiuse e forme esatte in R^2 e R^3
Elemento di area
Integrali di superficie
Flusso di un campo vettoriale lungo una superficie
Formule di Gauss-Green e di Stokes nel piano
Teorema di Stokes in R^3
Teorema della divergenza in R^3
Potenziale vettore
Applicazioni alla fisica
Convergenza puntuale e convergenza uniforme
Criterio di convergenza di Cauchy per la convergenza uniforme
Limite uniforme di funzioni continue
Passaggio al limite sotto al segno di derivata
Passaggio al limite sotto al segno di integrale
Convergenza puntuale totale e uniforme
Scambio tra derivate e serie e tra integrale e serie
Serie di potenze nel campo complesso: convergenza puntuale e uniforme
Cerchio di convergenza, determinazione del raggio
Comportamento della serie sul bordo del cerchio di convergenza
Criterio di Abel-Dirichlet
Teorema di Abel
Derivata e integrale di serie di potenze
Definizioni principali: equazioni differenziali ordinarie in forma normale; ordine di un'equazione; sistemi di equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine
Il problema di Cauchy
Teorema di esistenza e unicità locale
Prolungamento di soluzioni: teorema di esistenza globale
Studi qualitativi
Sistemi lineari del primo ordine in forma normale
Principio di sovrapposizione
Sistemi lineari omogenei
Determinante wronskiano
Matrice esponenziale
Sistemi omogenei del primo ordine a coefficienti costanti
Equazione lineare di ordine n e sistema del primo ordine equivalente
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie
Sistemi autonomi
Punti critici, stabilità e instabilità
Stabilità dell'origine per sistemi lineari autonomi e classificazione dei punti critici nel caso n = 2
Integrali primi, analisi delle orbite nel piano delle fasi
Metodo di Liapunov, teorema di stabilità di Liapunov
Metodo di linearizzazione
